Balloons

Explicación

El problema se puede resolver por simulación. En particular, queremos inflar los globos de izquierda a derecha. La parte difícil es determinar cuándo el nuevo globo $b$ toca alguno de los globos inflados $a$ a su izquierda, y cómo comprobar esto de forma eficiente para todos los globos inflados anteriores. Como notación, $a_r$ es el radio y $a_x$ la coordenada x del globo $a$ .

Primero, determinemos cuándo dos globos se “tocan” calculando el radio máximo del segundo globo $b_r$ . Como la coordenada x del globo inflado anterior $a_x$ y su radio $a_r$ están fijos, podemos construir un triángulo rectángulo con el centro de ambos globos de modo que los catetos sean paralelos a los ejes. Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos $(b_x - a_x)^2 + (b_r - a_r)^2 = (b_r + a_r)^2$ . Con un poco de álgebra, podemos obtener una expresión para el radio máximo del segundo globo $b_r = \frac{(b_x - a_x)^2}{4a_r}$ . Esto nos dice que el globo $b$ nunca puede tener un radio mayor que $b_r$ .

Con esta información, podríamos simplemente revisar cada globo inflado anterior y determinar cuál es el radio máximo de nuestro globo actual. Esto, sin embargo, tiene complejidad temporal $\mathcal{O}(n^2)$ , que es demasiado lento. En su lugar, usamos la observación de que cualquier globo $i$ con $i_r \leq b_r$ e $i_x < b_x$ nunca será tocado por globos posteriores a $b$ . Por lo tanto, guardamos los globos inflados en una pila. Cada vez que queremos inflar un nuevo globo $b$ , comprobamos cuánto puede ser el radio de $b$ bajo la restricción del primer elemento $a$ de la pila. (Por supuesto, $b_r$ debe seguir siendo menor que el máximo dado $r$ .) Si $b_r \geq a_r$ , sacamos $a$ de la pila y comprobamos el siguiente elemento. $a$ no se volverá a comprobar. En caso contrario, si $b_r < a_r$ , podemos detener la comprobación y guardar nuestro globo recién inflado $b$ en esta pila.

Como quitamos el elemento de la pila una vez que queremos revisar más atrás, tenemos complejidad temporal $\mathcal{O}(n)$ .

C++Java

Implementación


#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int PRECISION = 3;
 
/*
 * how long can the radius of the new balloon at position bx be
 * so that it touches the ballon a, which is described by
 * its x position a.first and its radius a.second
 */
double calc_r(pair<double, double> a, double bx) {
	return (a.first - bx) * (a.first - bx) / (4 * a.second);
}
 
int main() {
	int n;
	cin >> n;
 
	// the radius of each balloon after inflating
	vector<double> final_radius(n);
	// the balloons we should check when we add a new one
	stack<pair<double, double>> to_check;
 
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		double x, r;
		cin >> x >> r;
 
		// the maximum radius of the current balloon
		double max_r = r;
		/*
		 * as long as the stack is not empty, we want to check
		 * if the last balloon makes the radius of the current balloon smaller
		 */
		while (!to_check.empty()) {
			pair<double, double> last = to_check.top();
			// the radius if the current balloon touches the last balloon
			double to_last_r = calc_r(last, x);
			/*
			 * the maximum possible radius is the smaller one between current
			 * maximum and the maximum radius so that we touches the last
			 * balloon (by which we have to stop)
			 */
			max_r = min(max_r, to_last_r);
 
			/*
			 * if current maximum radius >= radius of the last balloon, we can
			 * remove the last balloon since it will never be touched by any
			 * new balloons other than the current one
			 */
			if (max_r >= last.second) {
				to_check.pop();
				// check the next balloon saved which will possibly reduce max_r
				continue;
			}
			/*
			 * otherwise, the current balloon is smaller than the last saved
			 * balloon and we can stop checking
			 */
			else {
				break;
			}
		}
		/*
		 * save the x coordinate and radius of the current balloon, so that
		 * it can be checked later when a new balloon being inflated
		 */
		to_check.push({x, max_r});
 
		final_radius[i] = max_r;
	}
 
	cout << fixed << setprecision(PRECISION);
	for (double &r : final_radius) { cout << r << "\n"; }
}

Implementación


import java.io.*;
import java.util.*;
 
// class Balloons causes compilation error on ojuz, and therefore bal
public class bal {
	public static void main(String[] args) throws IOException {
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		int n = Integer.parseInt(br.readLine());
 
		// the radius of each balloon after inflating
		double[] finalRadius = new double[n];
		// the balloons we should check when we add a new one
		Stack<Balloon> toCheck = new Stack<>();
 
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
			long x = Integer.parseInt(st.nextToken());
			double r = Integer.parseInt(st.nextToken());
 
			// the maximum radius of the current balloon
			double maxR = r;
			/*
			 * as long as the stack is not empty, we want to check
			 * if the last balloon makes the radius of the current balloon
			 * smaller
			 */
			while (!toCheck.isEmpty()) {
				// the radius if the current balloon touches the last balloon
				double toLastR = toCheck.peek().calcR(x);
				/*
				 * the maximum possible radius is the smaller one between
				 * current maximum and the maximum radius so that we touches the
				 * last balloon (by which we have to stop)
				 */
				maxR = Math.min(maxR, toLastR);
 
				/*
				 * if current maximum radius >= radius of the last balloon, we
				 * can remove the last balloon since it will never be touched by
				 * any new balloons other than the current one
				 */
				if (maxR >= toCheck.peek().r) {
					toCheck.pop();
					// check the next balloon saved which will possibly reduce
					// max_r
					continue;
				}
				/*
				 * otherwise, the current balloon is smaller than the last saved
				 * balloon and we can stop checking
				 */
				else {
					break;
				}
			}
			/*
			 * save the x coordinate and radius of the current balloon, so that
			 * it can be checked later when a new balloon being inflated
			 */
			toCheck.add(new Balloon(x, maxR));
			finalRadius[i] = maxR;
		}
 
		PrintWriter pw = new PrintWriter(System.out);
		for (double r : finalRadius) { pw.println(r); }
		pw.close();
	}
 
	// class to save the data of an inflated balloon
	private static class Balloon {
		public long x;
		public double r;
 
		public Balloon(long x, double r) {
			this.x = x;
			this.r = r;
		}
 
		/*
		 * how long can the radius of the new balloon at position bx be
		 * so that it touches this balloon
		 */
		public double calcR(long bx) { return (x - bx) * (x - bx) / (4 * r); }
	}
}