Calcular el determinante usando el método de Kraut en $O(N^3)$

En este artículo describiremos cómo hallar el determinante de la matriz usando el método de Kraut, que funciona en $O(N^3)$ .

El algoritmo de Kraut halla una descomposición de la matriz $A$ como $A = L U$ donde $L$ es triangular inferior y $U$ es una matriz triangular superior. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que todos los elementos diagonales de $L$ son iguales a 1. Una vez que conocemos estas matrices, es fácil calcular el determinante de $A$ : es igual al producto de todos los elementos de la diagonal principal de la matriz $U$ .

Hay un teorema que afirma que cualquier matriz invertible tiene una descomposición LU, y es única, si y solo si todos sus menores principales son no nulos. Consideramos solo aquella descomposición en la que la diagonal de la matriz $L$ consiste en unos.

Sea $A$ la matriz y $N$ su tamaño. Hallaremos los elementos de las matrices $L$ y $U$ usando los siguientes pasos:

Sea $L_{i i} = 1$ para $i = 1, 2, …, N$ .
Para cada $j = 1, 2, …, N$ $j = 1, 2, \dots, N$ realizar:
- Para $i = 1, 2, …, j$ hallar los valores
  
  $U_{ij} = A_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik} \cdot U_{kj}$
- Luego, para $i = j+1, j+2, …, N$ hallar los valores
  
  $L_{ij} = \frac{1}{U_{jj}} \left(A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} \cdot U_{kj} \right).$

Implementación


static BigInteger det (BigDecimal a [][], int n) {
	try {
 
	for (int i=0; i<n; i++) {
		boolean nonzero = false;
		for (int j=0; j<n; j++)
			if (a[i][j].compareTo (new BigDecimal (BigInteger.ZERO)) > 0)
				nonzero = true;
		if (!nonzero)
			return BigInteger.ZERO;
	}
 
	BigDecimal scaling [] = new BigDecimal [n];
	for (int i=0; i<n; i++) {
		BigDecimal big = new BigDecimal (BigInteger.ZERO);
		for (int j=0; j<n; j++)
			if (a[i][j].abs().compareTo (big) > 0)
				big = a[i][j].abs();
		scaling[i] = (new BigDecimal (BigInteger.ONE)) .divide
			(big, 100, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
	}
 
	int sign = 1;
 
	for (int j=0; j<n; j++) {
		for (int i=0; i<j; i++) {
			BigDecimal sum = a[i][j];
			for (int k=0; k<i; k++)
				sum = sum.subtract (a[i][k].multiply (a[k][j]));
			a[i][j] = sum;
		}
 
		BigDecimal big = new BigDecimal (BigInteger.ZERO);
		int imax = -1;
		for (int i=j; i<n; i++) {
			BigDecimal sum = a[i][j];
			for (int k=0; k<j; k++)
				sum = sum.subtract (a[i][k].multiply (a[k][j]));
			a[i][j] = sum;
			BigDecimal cur = sum.abs();
			cur = cur.multiply (scaling[i]);
			if (cur.compareTo (big) >= 0) {
				big = cur;
				imax = i;
			}
		}
 
		if (j != imax) {
			for (int k=0; k<n; k++) {
				BigDecimal t = a[j][k];
				a[j][k] = a[imax][k];
				a[imax][k] = t;
			}
 
			BigDecimal t = scaling[imax];
			scaling[imax] = scaling[j];
			scaling[j] = t;
 
			sign = -sign;
		}
 
		if (j != n-1)
			for (int i=j+1; i<n; i++)
				a[i][j] = a[i][j].divide
					(a[j][j], 100, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
 
	}
 
	BigDecimal result = new BigDecimal (1);
	if (sign == -1)
		result = result.negate();
	for (int i=0; i<n; i++)
		result = result.multiply (a[i][i]);
 
	return result.divide
		(BigDecimal.valueOf(1), 0, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN).toBigInteger();
	}
	catch (Exception e) {
		return BigInteger.ZERO;
	}
}

Calcular el determinante usando el método de Kraut en O(N3)O(N^3)O(N3)

Implementación

Calcular el determinante usando el método de Kraut en $O(N^3)$