Flujo máximo - método Push-relabel mejorado

Modificaremos el método Push-relabel para lograr un mejor tiempo de ejecución.

Descripción

La modificación es extremadamente simple: En el artículo anterior elegíamos un vértice con exceso sin ninguna regla particular. Pero resulta que, si siempre elegimos los vértices con la mayor altura y aplicamos sobre ellos las operaciones push y relabel, entonces la complejidad mejora. Además, para seleccionar los vértices con la mayor altura en realidad no necesitamos ninguna estructura de datos: simplemente guardamos los vértices con la mayor altura en una lista, y recalculamos la lista una vez que todos ellos fueron procesados (entonces se agregarán a la lista vértices con altura ya menor), o cada vez que aparece un nuevo vértice con exceso y una altura mayor (después de reetiquetar un vértice).

A pesar de la simplicidad, esta modificación reduce mucho la complejidad. Para ser precisos, la complejidad del algoritmo resultante es $O(V E + V^2 \sqrt{E})$ , que en el peor caso es $O(V^3)$ .

Esta modificación fue propuesta por Cheriyan y Maheshwari en 1989.

Implementación


const int inf = 1000000000;

int n;
vector<vector<int>> capacity, flow;
vector<int> height, excess;

void push(int u, int v)
{
    int d = min(excess[u], capacity[u][v] - flow[u][v]);
    flow[u][v] += d;
    flow[v][u] -= d;
    excess[u] -= d;
    excess[v] += d;
}

void relabel(int u)
{
    int d = inf;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (capacity[u][i] - flow[u][i] > 0)
            d = min(d, height[i]);
    }
    if (d < inf)
        height[u] = d + 1;
}

vector<int> find_max_height_vertices(int s, int t) {
    vector<int> max_height;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (i != s && i != t && excess[i] > 0) {
            if (!max_height.empty() && height[i] > height[max_height[0]])
                max_height.clear();
            if (max_height.empty() || height[i] == height[max_height[0]])
                max_height.push_back(i);
        }
    }
    return max_height;
}

int max_flow(int s, int t)
{
    height.assign(n, 0);
    height[s] = n;
    flow.assign(n, vector<int>(n, 0));
    excess.assign(n, 0);
    excess[s] = inf;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (i != s)
            push(s, i);
    }

    vector<int> current;
    while (!(current = find_max_height_vertices(s, t)).empty()) {
        for (int i : current) {
            bool pushed = false;
            for (int j = 0; j < n && excess[i]; j++) {
                if (capacity[i][j] - flow[i][j] > 0 && height[i] == height[j] + 1) {
                    push(i, j);
                    pushed = true;
                }
            }
            if (!pushed) {
                relabel(i);
                break;
            }
        }
    }

    return excess[t];
}