Punto de intersección de rectas

Se dan dos rectas, descritas mediante las ecuaciones $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ y $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$. Hay que encontrar el punto de intersección de las rectas, o determinar que las rectas son paralelas.

Solución

Si dos rectas no son paralelas, se intersectan. Para encontrar su punto de intersección, hay que resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}$$$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \end{cases}$$

Usando la regla de Cramer, podemos escribir de inmediato la solución del sistema, que nos dará el punto de intersección requerido de las rectas:

$$x = - \frac{$$$$\begin{vmatrix}c_1 & b_1 \cr c_2 & b_2\end{vmatrix}$$}{$$\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \cr a_2 & b_2\end{vmatrix}$$ } = - \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1},

$$y = - \frac{$$$$\begin{vmatrix}a_1 & c_1 \cr a_2 & c_2\end{vmatrix}$$}{$$\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \cr a_2 & b_2\end{vmatrix}$$} = - \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}.

Si el denominador es igual a $0$, es decir

$$\mid \begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\mid =a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$$$$\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \cr a_2 & b_2\end{vmatrix}$$ = a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0

entonces o bien el sistema no tiene soluciones (las rectas son paralelas y distintas) o hay infinitas soluciones (las rectas se superponen). Si necesitamos distinguir estos dos casos, hay que comprobar si los coeficientes $c$ son proporcionales con la misma razón que los coeficientes $a$ y $b$. Para ello solo hay que calcular los siguientes determinantes, y si ambos son iguales a $0$, las rectas se superponen:

$$\mid \begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_2& c_2\end{array}\mid ,\mid \begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_2& c_2\end{array}\mid$$$$\begin{vmatrix}a_1 & c_1 \cr a_2 & c_2\end{vmatrix}$$, $$\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \cr b_2 & c_2\end{vmatrix}$$

Nótese que en el artículo Geometría básica se explica un enfoque distinto para calcular el punto de intersección.

Implementación

struct pt {
    double x, y;
};

struct line {
    double a, b, c;
};

const double EPS = 1e-9;

double det(double a, double b, double c, double d) {
    return a*d - b*c;
}

bool intersect(line m, line n, pt & res) {
    double zn = det(m.a, m.b, n.a, n.b);
    if (abs(zn) < EPS)
        return false;
    res.x = -det(m.c, m.b, n.c, n.b) / zn;
    res.y = -det(m.a, m.c, n.a, n.c) / zn;
    return true;
}

bool parallel(line m, line n) {
    return abs(det(m.a, m.b, n.a, n.b)) < EPS;
}

bool equivalent(line m, line n) {
    return abs(det(m.a, m.b, n.a, n.b)) < EPS
        && abs(det(m.a, m.c, n.a, n.c)) < EPS
        && abs(det(m.b, m.c, n.b, n.c)) < EPS;
}