Encontrar la ecuación de una recta para un segmento

La tarea es: dadas las coordenadas de los extremos de un segmento, construir una recta que pase por él.

Asumimos que el segmento es no degenerado, es decir, tiene longitud mayor que cero (de lo contrario, por supuesto, pasan por él infinitas rectas distintas).

Caso bidimensional

Sea el segmento dado $PQ$ , es decir, se conocen las coordenadas de sus extremos $P_x , P_y , Q_x , Q_y$ .

Hay que construir la ecuación de una recta en el plano que pase por este segmento, es decir, encontrar los coeficientes $A , B , C$ en la ecuación de una recta:

$A x + B y + C = 0.$

Nótese que para las ternas $(A, B, C)$ requeridas hay infinitas soluciones que describen el segmento dado: se pueden multiplicar los tres coeficientes por un número arbitrario no nulo y se obtiene la misma recta. Por tanto, nuestra tarea es encontrar una de esas ternas.

Es fácil verificar (sustituyendo estas expresiones y las coordenadas de los puntos $P$ y $Q$ en la ecuación de una recta) que el siguiente conjunto de coeficientes sirve:

$\begin{aligned} A & = P_{y} - Q_{y}, \\ B & = Q_{x} - P_{x}, \\ C & = - A P_{x} - B P_{y} . \end{aligned}$

Caso entero

Una ventaja importante de este método de construir una recta es que si las coordenadas de los extremos eran enteras, entonces los coeficientes obtenidos también serán enteros. En algunos casos, esto permite realizar operaciones geométricas sin recurrir en absoluto a números reales.

Sin embargo, hay un pequeño inconveniente: para la misma recta se pueden obtener distintas ternas de coeficientes. Para evitarlo, pero sin alejarnos de los coeficientes enteros, se puede aplicar la siguiente técnica, a menudo llamada normalización. Se encuentra el máximo común divisor de los números $| A | , | B | , | C |$ , se dividen los tres coeficientes por él, y luego se normaliza el signo: si $A <0$ o $A = 0, B <0$ entonces se multiplican los tres coeficientes por $-1$ . Como resultado, se llegará a que para rectas idénticas se obtendrán ternas idénticas de coeficientes, lo que facilita comprobar rectas por igualdad.

Caso real

Al trabajar con números reales, siempre hay que ser consciente de los errores.

Los coeficientes $A$ y $B$ tendrán el orden de las coordenadas originales; el coeficiente $C$ es del orden de su cuadrado. Estos ya pueden ser números bastante grandes, y, por ejemplo, cuando intersectamos rectas, se harán aún más grandes, lo que puede llevar a errores de redondeo grandes ya cuando las coordenadas de los extremos son de orden $10^3$ .

Por tanto, al trabajar con números reales, es deseable producir la llamada normalización, que es directa: a saber, hacer que los coeficientes sean tales que $A ^ 2 + B ^ 2 = 1$ . Para ello, se calcula el número $Z$ :

$Z = \sqrt{A ^ 2 + B ^ 2},$

y se dividen los tres coeficientes $A , B , C$ por él.

Así, el orden de los coeficientes $A$ y $B$ no dependerá del orden de las coordenadas de entrada, y el coeficiente $C$ será del mismo orden que las coordenadas de entrada. En la práctica, esto lleva a una mejora significativa de la precisión de los cálculos.

Por último, mencionamos la comparación de rectas: de hecho, después de esa normalización, para la misma recta solo se pueden obtener dos ternas de coeficientes: salvo multiplicación por $-1$ . En consecuencia, si hacemos una normalización adicional teniendo en cuenta el signo (si $A < -\varepsilon$ o $| A | < \varepsilon$ , $B <- \varepsilon$ entonces multiplicamos por $-1$ ), los coeficientes resultantes serán únicos.

Caso tridimensional y multidimensional

Ya en el caso tridimensional no hay una ecuación simple que describa una recta (se puede definir como la intersección de dos planos, es decir, un sistema de dos ecuaciones, pero es un método incómodo).

Por consiguiente, en los casos tridimensional y multidimensional debemos usar el método paramétrico de definir una recta, es decir, como un punto $p$ y un vector $v$ :

$p + v t, ~~~ t \in \mathbb{R}.$

Es decir, una recta es todos los puntos que se pueden obtener a partir de un punto $p$ sumando un vector $v$ con un coeficiente arbitrario.

La construcción de una recta en forma paramétrica a partir de las coordenadas de los extremos de un segmento es trivial: simplemente tomamos un extremo del segmento como el punto $p$ , y el vector del primero al segundo extremo como el vector $v$ .