Teorema de Pick

Un polígono sin autointersecciones se llama de retículo si todos sus vértices tienen coordenadas enteras en alguna grilla 2D. El teorema de Pick proporciona una forma de calcular el área de este polígono a través del número de vértices que yacen en la frontera y el número de vértices que yacen estrictamente dentro del polígono.

Fórmula

Dado un cierto polígono de retículo con área no nula.

Denotamos su área por $S$, el número de puntos con coordenadas enteras que yacen estrictamente dentro del polígono por $I$ y el número de puntos que yacen sobre los lados del polígono por $B$.

Entonces, la fórmula de Pick afirma:

$$S=I+\frac{B}{2}-1$$

En particular, si se dan los valores de $I$ y $B$ de un polígono, el área se puede calcular en $O(1)$ sin siquiera conocer los vértices.

Esta fórmula fue descubierta y demostrada por el matemático austriaco Georg Alexander Pick en 1899.

Demostración

La demostración se lleva a cabo en varias etapas: de polígonos simples a arbitrarios:

• Un solo cuadrado: $S=1, I=0, B=4$, lo cual satisface la fórmula.

• Un rectángulo no degenerado arbitrario con lados paralelos a los ejes coordenados: Sean $a$ y $b$ las longitudes de los lados del rectángulo. Entonces, $S=ab, I=(a-1)(b-1), B=2(a+b)$. Al sustituir, vemos que la fórmula es cierta.

• Un triángulo rectángulo con catetos paralelos a los ejes: Para demostrarlo, nótese que cualquier triángulo de ese tipo se puede obtener cortando un rectángulo por una diagonal. Denotando por $c$ el número de puntos enteros que yacen sobre la diagonal, se puede mostrar que la fórmula de Pick se cumple para este triángulo independientemente de $c$.

• Un triángulo arbitrario: Nótese que cualquier triángulo de ese tipo se puede convertir en un rectángulo adosándolo a lados de triángulos rectángulos con catetos paralelos a los ejes (no se necesitarán más de 3 de esos triángulos). A partir de ahí, podemos obtener la fórmula correcta para cualquier triángulo.

• Un polígono arbitrario: Para demostrarlo, se triangula, es decir, se divide en triángulos con coordenadas enteras. Además, es posible demostrar que el teorema de Pick conserva su validez cuando se añade un triángulo a un polígono. Así, hemos demostrado la fórmula de Pick para un polígono arbitrario.

Generalización a dimensiones superiores

Lamentablemente, esta fórmula simple y bella no se puede generalizar a dimensiones superiores.

John Reeve lo demostró proponiendo un tetraedro (tetraedro de Reeve) con los siguientes vértices en 1957:

$$A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(1,1,k),$$

donde $k$ puede ser cualquier número natural. Entonces, para cualquier $k$, el tetraedro $ABCD$ no contiene ningún punto entero en su interior y tiene solo $4$ puntos en su frontera, $A, B, C, D$. Así, el volumen y el área de la superficie pueden variar a pesar de que el número de puntos interiores y de frontera no cambia. Por tanto, el teorema de Pick no admite generalizaciones.

Sin embargo, las dimensiones superiores aún tienen una generalización usando polinomios de Ehrhart, pero son bastante complejos y dependen no solo de los puntos interiores sino también de la frontera del politopo.

Recursos extra

Algunos ejemplos simples y una demostración sencilla del teorema de Pick se pueden encontrar aquí .