Intersección círculo-círculo

Se dan dos círculos en un plano 2D, cada uno descrito como las coordenadas de su centro y su radio. Encontrar los puntos de su intersección (casos posibles: uno o dos puntos, sin intersección o los círculos coinciden).

Solución

Reduzcamos este problema al problema de intersección círculo-recta.

Asumamos sin pérdida de generalidad que el primer círculo está centrado en el origen (si no es así, podemos mover el origen al centro del primer círculo y ajustar las coordenadas de los puntos de intersección en consecuencia al momento de emitir la salida). Tenemos un sistema de dos ecuaciones:

$x^2+y^2=r_1^2$

$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2$

Restemos la primera ecuación de la segunda para eliminar las potencias segundas de las variables:

$x^2+y^2=r_1^2$

$x \cdot (-2x_2) + y \cdot (-2y_2) + (x_2^2+y_2^2+r_1^2-r_2^2) = 0$

Así, hemos reducido el problema original al problema de encontrar las intersecciones del primer círculo y una recta:

$Ax + By + C = 0$

$\begin{aligned} A & = - 2 x_{2} \\ B & = - 2 y_{2} \\ C & = x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + r_{1}^{2} - r_{2}^{2} \end{aligned}$

Y este problema se puede resolver como se describe en el artículo correspondiente.

El único caso degenerado que hay que considerar por separado es cuando los centros de los círculos coinciden. En este caso $x_2=y_2=0$ , y la ecuación de la recta será $C = r_1^2-r_2^2 = 0$ . Si los radios de los círculos son iguales, hay infinitos puntos de intersección; si difieren, no hay intersecciones.

Intersección círculo-círculo

Solución

Problemas de práctica