Toll

Solución

Partimos el grafo en $N / K$ “capas” con $K$ nodos cada una. Nótese cómo este grafo se parece un poco a una red neuronal.

Grafo del sample

Sea $dp[a][b][x][y]$ el costo mínimo de un camino entre los nodos $Ka + x$ y $Kb + y$ .

Para cualquier terna $a < b < c$ , vale la siguiente recurrencia:

dp[a][c][x][y] = \min_{z \in [0, K)} (dp[a][b][x][z] + dp[b][c][z][y])

Esto se conoce como el producto $(\min,+)$ .

Para terminar, podemos usar cualquier algoritmo que nos permita responder rápidamente consultas estáticas de rango (p. ej. divide y vencerás). Otro enfoque es usar una tabla dispersa. En lugar de guardar cada estado de la DP, podemos guardar solo $dp[i][i + 2^j][x][y]$ para cada $i$ , $j$ , $x$ e $y$ . Luego podemos hallar el valor de $dp[\lfloor A / K \rfloor][\lfloor B / K \rfloor][A \% K][B \% K]$ en tiempo $\mathcal{O}(K^2 \log N)$ por consulta con binary lifting. Esto da una complejidad temporal de $\mathcal{O}(K^2(N+O)\log N)$ .

Implementación

$\mathcal{O}(K^3 \log N)$ por consulta. Podemos reducir esto a $\mathcal{O}(K^2 \log N)$ por consulta guardando solo la fila a % k-ésima de ans.

C++Python


#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int k, n, m, o;
int dp[50000][17][5][5], ans[5][5], tmp[5][5];
 
void combine(int target[5][5], int a[5][5], int b[5][5]) {
	for (int x = 0; x < k; x++) {
		for (int y = 0; y < k; y++) {
			for (int z = 0; z < k; z++) {
				target[x][y] = min(target[x][y], a[x][z] + b[z][y]);
			}
		}
	}
}
 
int main() {
	ios_base::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cin >> k >> n >> m >> o;
	memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
	while (m--) {
		int a, b, t;
		cin >> a >> b >> t;
		dp[a / k][0][a % k][b % k] = t;
	}
	for (int j = 1; j < 17; j++) {
		for (int i = 0; i + (1 << j) < (n + k - 1) / k; i++) {
			combine(dp[i][j], dp[i][j - 1], dp[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
		}
	}
 
	while (o--) {
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		memset(ans, 0x3f, sizeof ans);
		for (int i = 0; i < 5; i++) ans[i][i] = 0;
		for (int curr = a / k, dest = b / k, i = 16; ~i; i--) {
			if (curr + (1 << i) <= dest) {
				memset(tmp, 0x3f, sizeof tmp);
				combine(tmp, ans, dp[curr][i]);
				memcpy(ans, tmp, sizeof ans);
				curr += (1 << i);
			}
		}
		cout << (ans[a % k][b % k] == 0x3f3f3f3f ? -1 : ans[a % k][b % k]) << '\n';
	}
	return 0;
}


MAX_K = 5
MAX_J = 17
 
 
def combine(target: list[list[int]], a: list[list[int]], b: list[list[int]]):
	for x in range(k):
		for y in range(k):
			for z in range(k):
				target[x][y] = min(target[x][y], a[x][z] + b[z][y])
 
 
k, n, m, o = map(int, input().split())
 
dp = [
	[[[float("inf")] * k for _ in range(k)] for _ in range(MAX_J)]
	for _ in range((n + k - 1) // k)
]
 
for _ in range(m):
	a, b, t = map(int, input().split())
	dp[a // k][0][a % k][b % k] = t
 
for j in range(1, MAX_J):
	for i in range((n + k - 1) // k - (1 << j)):
		combine(dp[i][j], dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1], k)
 
for _ in range(o):
	a, b = map(int, input().split())
 
	ans = [[float("inf")] * k for _ in range(k)]
	for i in range(k):
		ans[i][i] = 0
 
	curr = a // k
	dest = b // k
 
	for i in range(MAX_J - 1, -1, -1):
		if curr + (1 << i) <= dest:
			tmp = [[float("inf")] * k for _ in range(k)]
			combine(tmp, ans, dp[curr][i], k)
			ans = tmp
			curr += 1 << i
 
	print(-1 if ans[a % k][b % k] == float("inf") else ans[a % k][b % k])