Swap

Enfoque 1

Complejidad: tiempo $\mathcal{O}(N \log^2N)$ con $\mathcal{O}(N \log N)$ de memoria.

Sean los elementos de $A$ nodos de un grafo y cada intercambio potencial una arista entre dos nodos. Notamos que este grafo es un árbol binario. Efectivamente queremos realizar algunos intercambios para minimizar el orden BFS de este árbol.

Sea $\texttt{merge}(A, B, C)$ el árbol con $A$ como raíz y $B$ y $C$ como los subárboles de los hijos izquierdo y derecho de $A$ respectivamente. Podemos calcular $\texttt{merge}(A, B, C)$ en tiempo $\mathcal{O}(|B| + |C|)$ .

Ahora podemos formular un estado básico de DP. Sea $dp[i][j]$ la versión del subárbol del nodo $i$ tras algunos intercambios tales que $A_i = j$ inicialmente y el orden BFS de $dp[i][j]$ es mínimo. Sean $l$ y $r$ los hijos izquierdo y derecho del nodo $i$ respectivamente. Vale la siguiente recurrencia:

dp[i][j] = \begin{cases} \texttt{merge}(j, dp[l][A_l], dp[r][A_r]) & \text{if } j < \min(A_l, A_r)\\ \texttt{merge}(A_l, dp[l][j], dp[r][A_r]) & \text{if } A_l < \min(j, A_r)\\ \min(\texttt{merge}(A_r, dp[l][j], dp[r][A_l]), \texttt{merge}(A_r, dp[l][A_l], dp[r][j])) & \text{otherwise} \end{cases}

La respuesta al problema es entonces $dp[1][A_1]$ . Si calculamos esta DP de forma naive, obtenemos una solución $\mathcal{O}(N^2 \log N)$ que usa $\mathcal(N^2 \log N)$ de memoria (ya que $\mathcal{O}(\sum\text{subtree size}) = \mathcal{O}(N \log N)$ ).

Para mejorar esta solución, notamos que para algún $i$ , tenemos $j = A[k]$ solo si $k$ es hijo de un ancestro de $i$ . Como solo hay $\mathcal{O}(\log N)$ ancestros de $i$ y cada uno tiene a lo sumo 2 hijos, ¡esto nos permite recortar la complejidad temporal (y de memoria) a $\mathcal{O}(N \log^2N)$ ! Por conveniencia, seguimos refiriéndonos al estado original de DP en el resto de esta solución.

Sin embargo, esta DP sigue usando demasiada memoria. Hay que hacer dos cosas para arreglarlo:

Procesar el árbol en orden BFS inverso (es decir, partiendo del nodo $N$ y trabajando de vuelta al nodo 1). Esto nos permite liberar la memoria usada por $dp[l]$ y $dp[r]$ después de procesar algún nodo $i$ . Esto recorta la memoria usada a $\mathcal{O}(N \log N)$ , pero sigue siendo un poco de más.
Solo calcular los estados de los que depende $dp[1][A_1]$ . Por ejemplo, el valor de $dp[2][A_1]$ es irrelevante si $A_1 < \min(A_2, A_3)$ .

Estas dos optimizaciones nos ahorran justo la memoria suficiente para obtener AC.

Implementación

C++


#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int a[200002];
bool needed[200002][18][2];
vector<int> dp[200002][18][2], tmp1, tmp2;
 
void merge(vector<int> &ret, vector<int> &l, vector<int> &r) {
	for (int i = 0, j = 1; i < l.size(); i += j, j <<= 1) {
		for (int k = i; k < i + j && k < l.size(); k++) ret.push_back(l[k]);
		for (int k = i; k < i + j && k < r.size(); k++) ret.push_back(r[k]);
	}
}
 
int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a + i);
 
	needed[1][0][1] = 1;
	for (int node = 1; node <= n / 2; node++) {
		for (int i = 0; node >> i; i++)
			for (int j : {0, 1}) {
				if (!needed[node][i][j]) continue;
 
				int mn =
				    min({a[((node >> i + 1) << 1) + j], a[2 * node], a[2 * node + 1]});
				if (mn == a[((node >> i + 1) << 1) + j]) {
					needed[2 * node][0][0] = needed[2 * node + 1][0][1] = 1;
				} else if (mn == a[2 * node]) {
					needed[2 * node][i + 1][j] = needed[2 * node + 1][0][1] = 1;
				} else {
					needed[2 * node][0][0] = needed[2 * node][i + 1][j] = 1;
					needed[2 * node + 1][0][0] = needed[2 * node + 1][i + 1][j] = 1;
				}
			}
	}
 
	for (int node = n; node; node--) {
		for (int i = 0; node >> i; i++)
			for (int j : {0, 1}) {
				if (!needed[node][i][j]) continue;
 
				int p = ((node >> i + 1) << 1) + j;
				if (2 * node > n) dp[node][i][j] = {a[p]};
				else if (2 * node == n) {
					dp[node][i][j] = {min(a[p], a[2 * node]), max(a[p], a[2 * node])};
				} else {
					if (a[2 * node + 1] < min(a[p], a[2 * node])) {
						tmp1 = tmp2 = {a[2 * node + 1]};
						merge(tmp1, dp[2 * node][0][0], dp[2 * node + 1][i + 1][j]);
						merge(tmp2, dp[2 * node][i + 1][j], dp[2 * node + 1][0][0]);
						dp[node][i][j] = min(tmp1, tmp2);
					} else {
						dp[node][i][j] = {min(a[p], a[2 * node])};
						if (a[p] < a[2 * node]) {
							merge(dp[node][i][j], dp[2 * node][0][0],
							      dp[2 * node + 1][0][1]);
						} else {
							merge(dp[node][i][j], dp[2 * node][i + 1][j],
							      dp[2 * node + 1][0][1]);
						}
					}
				}
			}
		if (2 * node < n) {
			for (int i = 0; 2 * node >> i; i++)
				for (int j : {0, 1}) {
					vector<int>().swap(dp[2 * node][i][j]);
					vector<int>().swap(dp[2 * node + 1][i][j]);
				}
		}
	}
 
	for (int i : dp[1][0][1]) printf("%d ", i);
	return 0;
}

Enfoque 2

Algo de DP mágica. Ver la discusión en CF .

Implementación

Complejidad temporal: $\mathcal{O}(N\log^2N)$ , se puede reducir a $\mathcal{O}(N\log N)$ .

Complejidad de memoria: $\mathcal{O}(N\log N)$

C++


#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
using ll = long long;
using ld = long double;
using db = double;
using str = string;  // yay python!
 
using pi = pair<int, int>;
using pl = pair<ll, ll>;
using pd = pair<db, db>;
 
using vi = vector<int>;
using vb = vector<bool>;
using vl = vector<ll>;
using vd = vector<db>;
using vs = vector<str>;
using vpi = vector<pi>;
using vpl = vector<pl>;
using vpd = vector<pd>;
 
#define tcT template <class T
#define tcTU tcT, class U
// ^ lol this makes everything look weird but I'll try it
tcT > using V = vector<T>;
tcT, size_t SZ > using AR = array<T, SZ>;
tcT > using PR = pair<T, T>;
 
// pairs
#define mp make_pair
#define f first
#define s second
 
// vectors
// oops size(x), rbegin(x), rend(x) need C++17
#define sz(x) int((x).size())
#define bg(x) begin(x)
#define all(x) bg(x), end(x)
#define rall(x) x.rbegin(), x.rend()
#define sor(x) sort(all(x))
#define rsz resize
#define ins insert
#define ft front()
#define bk back()
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define pf push_front
 
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
tcT > int lwb(V<T> &a, const T &b) { return int(lb(all(a), b) - bg(a)); }
 
// loops
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i < (b); ++i)
#define F0R(i, a) FOR(i, 0, a)
#define ROF(i, a, b) for (int i = (b) - 1; i >= (a); --i)
#define R0F(i, a) ROF(i, 0, a)
#define trav(a, x) for (auto &a : x)
 
const int MOD = 1e9 + 7;  // 998244353;
const int MX = 2e5 + 5;
const ll INF = 1e18;  // not too close to LLONG_MAX
const ld PI = acos((ld)-1);
const int dx[4] = {1, 0, -1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};  // for every grid problem!!
mt19937 rng((uint32_t)chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
template <class T> using pqg = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
 
// bitwise ops
// also see https://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc/Other-Builtins.html
constexpr int pct(int x) { return __builtin_popcount(x); }  // # of bits set
constexpr int bits(int x) {  // assert(x >= 0); // make C++11 compatible until
	                         // USACO updates ...
	return x == 0 ? 0 : 31 - __builtin_clz(x);
}  // floor(log2(x))
constexpr int p2(int x) { return 1 << x; }
constexpr int msk2(int x) { return p2(x) - 1; }
 
ll cdiv(ll a, ll b) {
	return a / b + ((a ^ b) > 0 && a % b);
}  // divide a by b rounded up
ll fdiv(ll a, ll b) {
	return a / b - ((a ^ b) < 0 && a % b);
}  // divide a by b rounded down
 
tcT > bool ckmin(T &a, const T &b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }  // set a = min(a,b)
tcT > bool ckmax(T &a, const T &b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
 
tcTU > T fstTrue(T lo, T hi, U f) {
	hi++;
	assert(lo <= hi);  // assuming f is increasing
	while (lo < hi) {  // find first index such that f is true
		T mid = lo + (hi - lo) / 2;
		f(mid) ? hi = mid : lo = mid + 1;
	}
	return lo;
}
tcTU > T lstTrue(T lo, T hi, U f) {
	lo--;
	assert(lo <= hi);  // assuming f is decreasing
	while (lo < hi) {  // find first index such that f is true
		T mid = lo + (hi - lo + 1) / 2;
		f(mid) ? lo = mid : hi = mid - 1;
	}
	return lo;
}
tcT > void remDup(vector<T> &v) {  // sort and remove duplicates
	sort(all(v));
	v.erase(unique(all(v)), end(v));
}
tcTU > void erase(T &t, const U &u) {  // don't erase
	auto it = t.find(u);
	assert(it != end(t));
	t.erase(it);
}  // element that doesn't exist from (multi)set
 
// INPUT
#define tcTUU tcT, class... U
tcT > void re(complex<T> &c);
tcTU > void re(pair<T, U> &p);
tcT > void re(V<T> &v);
tcT, size_t SZ > void re(AR<T, SZ> &a);
 
tcT > void re(T &x) { cin >> x; }
void re(db &d) {
	str t;
	re(t);
	d = stod(t);
}
void re(ld &d) {
	str t;
	re(t);
	d = stold(t);
}
tcTUU > void re(T &t, U &...u) {
	re(t);
	re(u...);
}
 
tcT > void re(complex<T> &c) {
	T a, b;
	re(a, b);
	c = {a, b};
}
tcTU > void re(pair<T, U> &p) { re(p.f, p.s); }
tcT > void re(V<T> &x) { trav(a, x) re(a); }
tcT, size_t SZ > void re(AR<T, SZ> &x) { trav(a, x) re(a); }
tcT > void rv(int n, V<T> &x) {
	x.rsz(n);
	re(x);
}
 
// TO_STRING
#define ts to_string
str ts(char c) { return str(1, c); }
str ts(const char *s) { return (str)s; }
str ts(str s) { return s; }
str ts(bool b) {
#ifdef LOCAL
	return b ? "true" : "false";
#else
	return ts((int)b);
#endif
}
tcT > str ts(complex<T> c) {
	stringstream ss;
	ss << c;
	return ss.str();
}
str ts(V<bool> v) {
	str res = "{";
	F0R(i, sz(v)) res += char('0' + v[i]);
	res += "}";
	return res;
}
template <size_t SZ> str ts(bitset<SZ> b) {
	str res = "";
	F0R(i, SZ) res += char('0' + b[i]);
	return res;
}
tcTU > str ts(pair<T, U> p);
tcT > str ts(T v) {  // containers with begin(), end()
#ifdef LOCAL
	bool fst = 1;
	str res = "{";
	for (const auto &x : v) {
		if (!fst) res += ", ";
		fst = 0;
		res += ts(x);
	}
	res += "}";
	return res;
#else
	bool fst = 1;
	str res = "";
	for (const auto &x : v) {
		if (!fst) res += " ";
		fst = 0;
		res += ts(x);
	}
	return res;
 
#endif
}
tcTU > str ts(pair<T, U> p) {
#ifdef LOCAL
	return "(" + ts(p.f) + ", " + ts(p.s) + ")";
#else
	return ts(p.f) + " " + ts(p.s);
#endif
}
 
// OUTPUT
tcT > void pr(T x) { cout << ts(x); }
tcTUU > void pr(const T &t, const U &...u) {
	pr(t);
	pr(u...);
}
void ps() { pr("\n"); }  // print w/ spaces
tcTUU > void ps(const T &t, const U &...u) {
	pr(t);
	if (sizeof...(u)) pr(" ");
	ps(u...);
}
 
// DEBUG
void DBG() { cerr << "]" << endl; }
tcTUU > void DBG(const T &t, const U &...u) {
	cerr << ts(t);
	if (sizeof...(u)) cerr << ", ";
	DBG(u...);
}
#ifdef LOCAL  // compile with -DLOCAL, chk -> fake assert
#define dbg(...)                                                                       \
	cerr << "Line(" << __LINE__ << ") -> [" << #__VA_ARGS__ << "]: [", DBG(__VA_ARGS__)
#define chk(...)                                                                       \
	if (!(__VA_ARGS__))                                                                \
		cerr << "Line(" << __LINE__ << ") -> function(" << __FUNCTION__                \
		     << ") -> CHK FAILED: (" << #__VA_ARGS__ << ")" << "\n",                   \
		    exit(0);
#else
#define dbg(...) 0
#define chk(...) 0
#endif
 
void setPrec() { cout << fixed << setprecision(15); }
void unsyncIO() { cin.tie(0)->sync_with_stdio(0); }
// FILE I/O
void setIn(str s) { freopen(s.c_str(), "r", stdin); }
void setOut(str s) { freopen(s.c_str(), "w", stdout); }
void setIO(str s = "") {
	unsyncIO();
	setPrec();
	// cin.exceptions(cin.failbit);
	// throws exception when do smth illegal
	// ex. try to read letter into int
	if (sz(s)) setIn(s + ".in"), setOut(s + ".out");  // for USACO
}
 
map<pi, int> bes;
int n, p[MX];
 
int get(int ind, int y) {
	if (bes.count({ind, y})) return bes[{ind, y}];
	if (2 * ind > n) return ind;
	if (2 * ind + 1 > n) {
		if (y > p[2 * ind]) return 2 * ind;
		return ind;
	}
	if (y < min(p[2 * ind], p[2 * ind + 1])) return bes[{ind, y}] = ind;
	if (p[2 * ind] < min(y, p[2 * ind + 1])) return bes[{ind, y}] = get(2 * ind, y);
	int mn = min(y, p[2 * ind]);
	if (get(2 * ind, mn) < get(2 * ind + 1, mn)) {
		if (mn == y) return bes[{ind, y}] = get(2 * ind, y);
		return bes[{ind, y}] = get(2 * ind + 1, y);
	} else {
		if (mn == y) return bes[{ind, y}] = get(2 * ind + 1, y);
		return bes[{ind, y}] = get(2 * ind, y);
	}
}
 
void solve(int ind) {
	if (2 * ind > n) return;
	if (2 * ind + 1 > n) {
		if (p[ind] > p[2 * ind]) swap(p[ind], p[2 * ind]);
		return;
	}
 
	if (p[ind] < min(p[2 * ind], p[2 * ind + 1])) {
 
	} else if (p[2 * ind] < min(p[ind], p[2 * ind + 1])) {
		swap(p[2 * ind], p[ind]);
	} else {
		int mn = min(p[ind], p[2 * ind]), mx = max(p[ind], p[2 * ind]);
 
		p[ind] = p[2 * ind + 1];
		if (get(2 * ind, mn) < get(2 * ind + 1, mn)) {
			p[2 * ind] = mn, p[2 * ind + 1] = mx;
		} else {
			p[2 * ind] = mx, p[2 * ind + 1] = mn;
		}
	}
	solve(ind + 1);
}
 
int main() {
	ios_base::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cin >> n;
	FOR(i, 1, n + 1) cin >> p[i];
	solve(1);
	FOR(i, 1, n + 1) cout << p[i] << " ";
}

Enfoque 3

Mantenemos alguna colección de heaps y calculamos la secuencia en orden. Creo que esto es similar a lo que hace la solución oficial, aunque no lo entiendo del todo.

Implementación

Complejidad temporal: $\mathcal{O}(N\log N)$

Complejidad de memoria: $\mathcal{O}(N)$

C++


#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
using ll = long long;
using ld = long double;
using db = double;
using str = string;  // yay python!
 
using pi = pair<int, int>;
using pl = pair<ll, ll>;
using pd = pair<db, db>;
 
using vi = vector<int>;
using vb = vector<bool>;
using vl = vector<ll>;
using vd = vector<db>;
using vs = vector<str>;
using vpi = vector<pi>;
using vpl = vector<pl>;
using vpd = vector<pd>;
 
#define tcT template <class T
#define tcTU tcT, class U
// ^ lol this makes everything look weird but I'll try it
tcT > using V = vector<T>;
tcT, size_t SZ > using AR = array<T, SZ>;
tcT > using PR = pair<T, T>;
 
// pairs
#define mp make_pair
#define f first
#define s second
 
// vectors
// oops size(x), rbegin(x), rend(x) need C++17
#define sz(x) int((x).size())
#define bg(x) begin(x)
#define all(x) bg(x), end(x)
#define rall(x) x.rbegin(), x.rend()
#define sor(x) sort(all(x))
#define rsz resize
#define ins insert
#define ft front()
#define bk back()
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define pf push_front
 
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
tcT > int lwb(V<T> &a, const T &b) { return int(lb(all(a), b) - bg(a)); }
 
// loops
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i < (b); ++i)
#define F0R(i, a) FOR(i, 0, a)
#define ROF(i, a, b) for (int i = (b) - 1; i >= (a); --i)
#define R0F(i, a) ROF(i, 0, a)
#define trav(a, x) for (auto &a : x)
 
const int MOD = 1e9 + 7;  // 998244353;
const int MX = 2e5 + 5;
const ll INF = 1e18;  // not too close to LLONG_MAX
const ld PI = acos((ld)-1);
const int dx[4] = {1, 0, -1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};  // for every grid problem!!
mt19937 rng((uint32_t)chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
template <class T> using pqg = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>;
 
// bitwise ops
// also see https://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc/Other-Builtins.html
constexpr int pct(int x) { return __builtin_popcount(x); }  // # of bits set
constexpr int bits(int x) {  // assert(x >= 0); // make C++11 compatible until
	                         // USACO updates ...
	return x == 0 ? 0 : 31 - __builtin_clz(x);
}  // floor(log2(x))
constexpr int p2(int x) { return 1 << x; }
constexpr int msk2(int x) { return p2(x) - 1; }
 
ll cdiv(ll a, ll b) {
	return a / b + ((a ^ b) > 0 && a % b);
}  // divide a by b rounded up
ll fdiv(ll a, ll b) {
	return a / b - ((a ^ b) < 0 && a % b);
}  // divide a by b rounded down
 
tcT > bool ckmin(T &a, const T &b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }  // set a = min(a,b)
tcT > bool ckmax(T &a, const T &b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
 
tcTU > T fstTrue(T lo, T hi, U f) {
	hi++;
	assert(lo <= hi);  // assuming f is increasing
	while (lo < hi) {  // find first index such that f is true
		T mid = lo + (hi - lo) / 2;
		f(mid) ? hi = mid : lo = mid + 1;
	}
	return lo;
}
tcTU > T lstTrue(T lo, T hi, U f) {
	lo--;
	assert(lo <= hi);  // assuming f is decreasing
	while (lo < hi) {  // find first index such that f is true
		T mid = lo + (hi - lo + 1) / 2;
		f(mid) ? lo = mid : hi = mid - 1;
	}
	return lo;
}
tcT > void remDup(vector<T> &v) {  // sort and remove duplicates
	sort(all(v));
	v.erase(unique(all(v)), end(v));
}
tcTU > void erase(T &t, const U &u) {  // don't erase
	auto it = t.find(u);
	assert(it != end(t));
	t.erase(it);
}  // element that doesn't exist from (multi)set
 
// INPUT
#define tcTUU tcT, class... U
tcT > void re(complex<T> &c);
tcTU > void re(pair<T, U> &p);
tcT > void re(V<T> &v);
tcT, size_t SZ > void re(AR<T, SZ> &a);
 
tcT > void re(T &x) { cin >> x; }
void re(db &d) {
	str t;
	re(t);
	d = stod(t);
}
void re(ld &d) {
	str t;
	re(t);
	d = stold(t);
}
tcTUU > void re(T &t, U &...u) {
	re(t);
	re(u...);
}
 
tcT > void re(complex<T> &c) {
	T a, b;
	re(a, b);
	c = {a, b};
}
tcTU > void re(pair<T, U> &p) { re(p.f, p.s); }
tcT > void re(V<T> &x) { trav(a, x) re(a); }
tcT, size_t SZ > void re(AR<T, SZ> &x) { trav(a, x) re(a); }
tcT > void rv(int n, V<T> &x) {
	x.rsz(n);
	re(x);
}
 
// TO_STRING
#define ts to_string
str ts(char c) { return str(1, c); }
str ts(const char *s) { return (str)s; }
str ts(str s) { return s; }
str ts(bool b) {
#ifdef LOCAL
	return b ? "true" : "false";
#else
	return ts((int)b);
#endif
}
tcT > str ts(complex<T> c) {
	stringstream ss;
	ss << c;
	return ss.str();
}
str ts(V<bool> v) {
	str res = "{";
	F0R(i, sz(v)) res += char('0' + v[i]);
	res += "}";
	return res;
}
template <size_t SZ> str ts(bitset<SZ> b) {
	str res = "";
	F0R(i, SZ) res += char('0' + b[i]);
	return res;
}
tcTU > str ts(pair<T, U> p);
tcT > str ts(T v) {  // containers with begin(), end()
#ifdef LOCAL
	bool fst = 1;
	str res = "{";
	for (const auto &x : v) {
		if (!fst) res += ", ";
		fst = 0;
		res += ts(x);
	}
	res += "}";
	return res;
#else
	bool fst = 1;
	str res = "";
	for (const auto &x : v) {
		if (!fst) res += " ";
		fst = 0;
		res += ts(x);
	}
	return res;
 
#endif
}
tcTU > str ts(pair<T, U> p) {
#ifdef LOCAL
	return "(" + ts(p.f) + ", " + ts(p.s) + ")";
#else
	return ts(p.f) + " " + ts(p.s);
#endif
}
 
// OUTPUT
tcT > void pr(T x) { cout << ts(x); }
tcTUU > void pr(const T &t, const U &...u) {
	pr(t);
	pr(u...);
}
void ps() { pr("\n"); }  // print w/ spaces
tcTUU > void ps(const T &t, const U &...u) {
	pr(t);
	if (sizeof...(u)) pr(" ");
	ps(u...);
}
 
// DEBUG
void DBG() { cerr << "]" << endl; }
tcTUU > void DBG(const T &t, const U &...u) {
	cerr << ts(t);
	if (sizeof...(u)) cerr << ", ";
	DBG(u...);
}
#ifdef LOCAL  // compile with -DLOCAL, chk -> fake assert
#define dbg(...)                                                                       \
	cerr << "Line(" << __LINE__ << ") -> [" << #__VA_ARGS__ << "]: [", DBG(__VA_ARGS__)
#define chk(...)                                                                       \
	if (!(__VA_ARGS__))                                                                \
		cerr << "Line(" << __LINE__ << ") -> function(" << __FUNCTION__                \
		     << ") -> CHK FAILED: (" << #__VA_ARGS__ << ")" << "\n",                   \
		    exit(0);
#else
#define dbg(...) 0
#define chk(...) 0
#endif
 
void setPrec() { cout << fixed << setprecision(15); }
void unsyncIO() { cin.tie(0)->sync_with_stdio(0); }
// FILE I/O
void setIn(str s) { freopen(s.c_str(), "r", stdin); }
void setOut(str s) { freopen(s.c_str(), "w", stdout); }
void setIO(str s = "") {
	unsyncIO();
	setPrec();
	// cin.exceptions(cin.failbit);
	// throws exception when do smth illegal
	// ex. try to read letter into int
	if (sz(s)) setIn(s + ".in"), setOut(s + ".out");  // for USACO
}
 
int n, p[MX];
int par[MX];
vi val[MX], child[MX];
 
int qmin(int x) {
	if (!par[x]) {
		assert(p[x]);
		return p[x];
	}
	assert(p[x] == 0);
	x = par[x];
	int res = MOD;
	while (x) {
		assert(sz(val[x]));
		trav(t, val[x]) ckmin(res, t);
		if (sz(val[x]) == 2) {
			assert(!par[x]);
			break;
		} else {
			assert(sz(val[x]) == 1 && par[x]);
			x = par[x];
		}
	}
	assert(res != MOD);
	return res;
}
 
void delChild(int a, int b) {
	assert(a && par[b] == a);
	auto it = find(all(child[a]), b);
	assert(it != end(child[a]));
	child[a].erase(it);
	par[b] = 0;
}
 
void setChild(int a, int b) {
	assert(a);
	child[a].pb(b);
	par[b] = a;  // assert(p[b]);
	p[b] = 0;
}
 
void setEq(int x) {
	if (p[x]) return;
	int v = qmin(x);
	vi trail = {x};
	while (find(all(val[trail.bk]), v) == end(val[trail.bk])) {
		assert(trail.bk);
		trail.pb(par[trail.bk]);
	}
	for (; sz(trail) > 1; trail.pop_back()) {
		int t = trail.bk;
		assert(sz(val[t]) && sz(child[t]) == 2);
		int c = trail[sz(trail) - 2], C = child[t][0] + child[t][1] - c;
		val[c].pb(v);
		delChild(t, c);
		delChild(t, C);
		if (sz(val[t]) == 2) {
			val[C].pb(val[t][0] + val[t][1] - v);
		} else {
			int P = par[t];
			delChild(P, t);
			setChild(P, C);
		}
	}
}
 
int main() {
	setIO();
	re(n);
	FOR(i, 1, n + 1) re(p[i]);
	FOR(i, 1, n + 1) {
		if (!par[i] && sz(val[i])) {
			assert(sz(val[i]) == 1 && p[i] == 0);
			p[i] = val[i][0];
			val[i] = {};
		}
		int x = qmin(i);
		int mn = x;
		if (2 * i <= n) ckmin(mn, p[2 * i]);
		if (2 * i + 1 <= n) ckmin(mn, p[2 * i + 1]);
		if (mn == x) setEq(i);      // just remove the min
		else if (mn == p[2 * i]) {  // don't touch p[2*i+1]
			if (!par[i]) p[2 * i] = p[i];
			else {
				int P = par[i];
				delChild(P, i);
				setChild(P, 2 * i);
			}
		} else {
			if (!par[i]) val[i] = {p[i], p[2 * i]};
			else val[i] = {p[2 * i]};
			setChild(i, 2 * i), setChild(i, 2 * i + 1);
		}
		pr(mn, ' ');
	}
	// you should actually read the stuff at the bottom
}