Gap

Subtarea 1

Podemos hallar el mínimo y el máximo de $a$ en algún rango $[l, r]$ simplemente consultando MinMax(l, r, &mn, &mx). Esto nos permite ir recortando el rango y reconstruir $a$ con $M \leq \frac{N + 1}{2}$.

Luego recorremos $a$ y hallamos el mayor hueco.

Subtarea 2

No necesariamente hay que reconstruir $a$ por completo para hallar el mayor hueco. Observemos que si conocemos una cota inferior $x$ de la respuesta y el rango de todos los $a_i$, entonces podemos consultar el rango en bloques de tamaño $x - 1$ para hallar la respuesta. Esto funciona porque el mayor hueco siempre cubrirá al menos dos bloques.

¿Cuál es entonces la cota inferior de la respuesta? Si hay $N$ elementos que cubren un rango de tamaño $L$, entonces la cota inferior es $\frac{L + N - 1}{N - 1}$ por el principio del palomar. (Esta es una idea similar a la solución $\alpha = 1/2$ de IMO 2020 P6).

Nuestro algoritmo queda así:

• Hallar el rango que cubre $a$ en 1 consulta. Esto contribuye $N + 1$ a $M$.
• Hallar $x$ (la cota inferior de la respuesta) con la fórmula de arriba.
• Consultar el rango en bloques de tamaño $x - 1$. Como hay $N - 1$ de estos bloques y cada $a_i$ está incluido en exactamente 1 de estos bloques, esto contribuye $2N - 1$ a $M$.

Esto nos permite hallar el mayor hueco con $M \leq 3N$.

Implementación

#include "gap.h"
 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
 
const ll MAXN = 1e18;
 
ll a[100000], j = 0;
 
ll findGap(int T, int N) {
	if (T == 1) {
		ll l = 1, r = MAXN;
		ll mn, mx;
		vector<ll> v;
		for (ll i = 0; i < (N + 1) / 2; i++) {
			MinMax(l, r, &mn, &mx);
			a[j++] = mn;
			a[j++] = mx;
			l = mn + 1, r = mx - 1;
		}
		sort(a, a + N);
		ll ans = 0;
		for (ll i = 0; i < N - 1; i++) ans = max(ans, a[i + 1] - a[i]);
		return ans;
	} else {
		ll mn, mx;
		MinMax(1, MAXN, &mn, &mx);
		ll step = (mx - mn + N - 2) / (N - 1);
		ll ans = step, x, y, l = mn, i;
		for (i = mn; i + step < mx; i += step + 1) {
			MinMax(i, i + step, &x, &y);
			if (x != -1) {
				ans = max(ans, x - l);
				l = y;
			}
		}
		MinMax(i, mx, &x, &y);
		if (x != -1) ans = max(ans, x - l);
		return ans;
	}
}