Grouping

Explicación

Definimos $dp[i]$ como el puntaje máximo posible para el subconjunto de conejos representado por la máscara $i$ .

La transición involucra dos pasos para cada máscara $i$ :

Puntaje base: Inicializamos $dp[i]$ calculando la suma de $a_{j,k}$ para todos los pares $(j, k)$ dentro de la máscara. Esto asume que todos los conejos de la máscara forman un solo grupo.
Fusión de subconjuntos: Mejoramos $dp[i]$ partiendo la máscara en dos submáscaras disjuntas $j$ e $i \oplus j$ . La transición es:

dp[i] = \max_{j \subseteq i} \left(dp[i], dp[j] + dp[i \oplus j] \right)

Implementación

Complejidad temporal: $\mathcal{O}(3^N + N^2 \cdot 2^N)$

C++


#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
using ll = long long;
 
int main() {
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
 
	int n;
	cin >> n;
	vector a(n, vector<int>(n));
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = 0; j < n; j++) { cin >> a[i][j]; }
	}
 
	vector<ll> dp(1 << n);
 
	// Recorremos todos los subconjuntos posibles de conejos
	for (int i = 1; i < (1 << n); i++) {
		// Calculamos el puntaje interno si este subconjunto forma UN solo grupo
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			if (!(i >> j & 1)) continue;
			for (int k = j + 1; k < n; k++) {
				if (!(i >> k & 1)) continue;
				dp[i] += a[j][k];
			}
		}
 
		// Recorremos todas las submáscaras j de la máscara actual i
		// Intentamos partir la máscara en grupos más pequeños para hallar un mejor puntaje
		for (int j = (i - 1) & i; j > 0; j = (j - 1) & i) {
			dp[i] = max(dp[i], dp[j] + dp[i ^ j]);
		}
	}
 
	cout << dp[(1 << n) - 1] << '\n';
}